FUNCION COBB-DOUGLAS

Hoy les vamos a presentar la importancia que tiene las funciones de Cobb-Douglas, siendo un pilar básico en la economía. Como también vamos a exponer ejemplos prácticos.

Es la Función de producción más clásica del análisis económico y más utilizado en la economía,  su nombre y existencia se derivan al estudio de la distribución de la renta entre trabajo y capital en Estados Unidos  por Paul Douglas y Charles Cobb (1920).

• La formula utilizadas es las siguiente.

Q = AT^αK^β 

Q = producción total

T = trabajo insumo

K = capital insumo

A = factor total de productividad

α y β son las elasticidades producto del trabajo y el capital, respectivamente.

• Desarrollo matemático

Supongamos que una empresa produce un único bien empleando dos factores productivos distintos (K, L) el capital y el trabajo. Sea y = f ( K , L ) la función de producción de la empresa considerada, donde la cantidad de producto de K y L son las cantidades de primer y segundo factor productivos empleadas.

La empresa no tiene influencia ni en el precio unitario de lo producido, p, ni en el de los factores de producción, p₁ y p₂ 

Por consiguiente, de una parte, lo pagado por la empresa para producir una cantidad y de producto sería:

 p₁K + p₂L

Por otra parte, el precio total de lo producido sería:

pf (K,L)

 Dadas las condiciones de equilibrio, estas dos cantidades deberían ser iguales entre sí:

p₁K + p₂L = pf (K,L)

Ahora bien, dado que los factores productivos K, L, deben ser retribuidos en función de su productividad marginal, obtenemos que

con lo que llegamos a la ecuación fundamental

que iguala el coste de los factores productivos, expresado por su productividad marginal, con el valor de lo producido. Eliminando p en ambos miembros, obtenemos una ecuación en derivadas parciales cuyas soluciones, de acuerdo con el conocido teorema de EULER serán funciones homogéneas de grado 1  

• Ejemplo de aplicación

 En una factoría se ha observado que la producción diaria sigue una función de Cobb-Douglas

Q= 20K ^2/3L^1/3

Q = número de unidades producidas por día de trabajo

K = capital invertido en miles de euros y

L = fuerza laboral en horas trabajadas.

   Si la inversión ha sido de 50.000 euros y se trabajan diariamente 160 horas.

¿cómo variaría la producción si se invierten 2.000 euros más y se disminuye en número de horas trabajadas en 4?

El cálculo directo sería buscar la diferencia entre Q₁ (situación actual) y Q₂ (situación modificada)

Q₁ = 20 x 50^2/3  x 160^1/3 = 1.472,98 unidades diarias

Q₂  = 20 x 50^2/3  x 156^1/3  = 1.499,29 unidades diarias

la producción aumentaría en:

Q₂  - Q₁  = 1.499,29  - 1.472,98  = 26,31 unidades

Si se quiere tener el efecto desglosado que producen estas variaciones, se obtiene la diferencial

Se producirían 39,29 unidades más debido al aumento de la inversión

Se producirían 12,28 unidades menos debido al descenso de la fuerza de trabajo.

Por tanto el efecto conjunto sería 

39,29 – 12,28 = 27,01 unidades más



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